block-beta
block:group
columns 5
a["t"] b["1 ώρα"] c["2 ώρες"] d["4 ώρες"] e["10 ώρες"]
k["υ"] l[" "] m[" "] n[" "] p[" "]
f["S"] g["80 km"] h["80 km"] s[" 80 km "] t[" 80 km"]
end
1 Η συνάρτηση της μορφής \(y = \frac{\alpha}{x}\).
1.1 Θεωρία: Αντιστρόφως Ανάλογα Ποσά
Δύο ποσά \(x\) και \(y\) ονομάζονται αντιστρόφως ανάλογα όταν το γινόμενο των αντίστοιχων τιμών τους είναι πάντα σταθερό: \(x \cdot y = \alpha\) (όπου \(\alpha \neq 0\)). Αυτό σημαίνει πως αν διπλασιάσουμε, τριπλασιάσουμε κτλ την τιμή του ενός ποσού, τότε η αντίστοιχη τιμή του άλλου θα υποδιπλασιαστεί, υποτριπλασιαστει κτλ.. Ο σταθερός αριθμός \(\alpha\) ονομάζεται συντελεστής της αντιστροφής. Η μαθηματική συνάρτηση που εκφράζει αυτή τη σχέση είναι η \(y = \frac{\alpha}{x}\).
Βασικές Ιδιότητες:
* Όταν η τιμή του ενός ποσού πολλαπλασιάζεται με έναν αριθμό, η τιμή του άλλου διαιρείται με τον ίδιο αριθμό.
* Ο λόγος δύο τιμών του ενός ποσού είναι ίσος με τον αντίστροφο λόγο των αντίστοιχων τιμών του άλλου ποσού: \(\frac{x_1}{x_2} = \frac{y_2}{y_1}\). ή \(x_1\cdot y_1=x_2\cdot y_2\)
* Ένα κλασικό παράδειγμα από τη Φυσική είναι η σχέση ταχύτητας (\(v\)) και χρόνου (\(t\)) για μια σταθερή απόσταση (\(s\)): \(v \cdot t = s\).
1.2 Η Γραφική Παράσταση: Η Υπερβολή
Η γραφική παράσταση της συνάρτησης \(y = \frac{\alpha}{x}\) ονομάζεται υπερβολή. Αποτελείται από δύο καμπύλες γραμμές που ονομάζονται κλάδοι της υπερβολής.
Συμβουλή
Αλλάξτε την τιμή του δρομέα α (κλίκ και σύρτε)
- Τι συμβαίνει όταν το α είναι θετικό;
- Τι συμβαίνει όταν το α είναι αρνητικό;
Εξετάστε αν ισχύουν όσα συζητάμε παρακάτω για τα χαρακτηριστικά της υπερβολής.
Χαρακτηριστικά της Υπερβολής:
* Θέση: Αν ο συντελεστής \(\alpha\) είναι θετικός (\(\alpha > 0\)), οι κλάδοι βρίσκονται στο 1ο και 3ο τεταρτημόριο. Αν ο \(\alpha\) είναι αρνητικός (\(\alpha < 0\)), βρίσκονται στο 2ο και 4ο.
* Συμμετρία: Έχει κέντρο συμμετρίας την αρχή των αξόνων \(O(0,0)\).
* Άξονες Συμμετρίας: Είναι οι διχοτόμοι των γωνιών των αξόνων, δηλαδή οι ευθείες \(y = x\) και \(y = -x\).
* Περιορισμοί: Οι κλάδοι της υπερβολής πλησιάζουν τους άξονες \(x'x\) και \(y'y\) αλλά δεν τους τέμνουν ποτέ.
1.3 Παραδείγματα & Ασκήσεις για Εξάσκηση
1. Συμπλήρωση Πίνακα Τιμών Αν γνωρίζεις ότι τα ποσά \(x\) και \(y\) είναι αντιστρόφως ανάλογα και για \(x = 3\) η τιμή είναι \(y = 4\), να συμπληρώσεις τις υπόλοιπες τιμές:
* Όταν \(x = 1\), τότε \(y = ?\) (Απάντηση: 12)
* Όταν \(x = 2\), τότε \(y = ?\) (Απάντηση: 6)
* Όταν \(x = 6\), τότε \(y = ?\) (Απάντηση: 2)
2. Πρόβλημα Παραγωγής (Εργοστάσιο) Σε ένα εργοστάσιο, 12 μηχανές λειτουργούν για 15 ώρες για να βγάλουν την ημερήσια παραγωγή. Αν 2 μηχανές τεθούν εκτός λειτουργίας, πόσες ώρες πρέπει να δουλέψουν οι υπόλοιπες 10 μηχανές;
* Σκέψη: Ο αριθμός των μηχανών και ο χρόνος είναι ποσά αντιστρόφως ανάλογα.
* Λύση: \(12 \cdot 15 = 10 \cdot x \Rightarrow 180 = 10x \Rightarrow x = 18\) ώρες.
3. Γεωμετρικό Παράδειγμα Ένα παραλληλόγραμμο έχει σταθερό εμβαδόν \(6 \, \text{m}^2\). Πώς μεταβάλλεται το ύψος (\(y\)) σε σχέση με τη βάση (\(x\));
* Σχέση: \(x\cdot y = 6\). Αν η βάση διπλασιαστεί, το ύψος θα πρέπει να υποδιπλασιαστεί για να μείνει το εμβαδόν ίδιο.
4. Φυσική (Κίνηση): Η απόσταση δύο πόλεων είναι \(80\) km. Αν ένας ποδηλάτης καλύπτει την απόσταση σε χρόνο \(t\) με ταχύτητα \(υ\), να συμπληρώσετε τις τιμές της ταχύτητας για \(t = 1, 2, 4\) και \(10\) ώρες.
5. Συμπλήρωση Πίνακα: Αν γνωρίζετε ότι τα ποσά \(x\) και \(y\) είναι αντιστρόφως ανάλογα με σταθερό γινόμενο \(24\), να βρείτε τις τιμές του \(y\) για \(x = -2, \quad0,5\quad , 2, 8\) και \(12\).
block-beta
block:group
columns 6
a[" x "] b["-2"] c["0,5"] d["2"] p["8"] e["12"]
k[" y "] l[" "] m[" "] n[" "] o[" "] q[" "]
f["xy"] g["24"] h[" 24 "] s[" 24 "] t[" 24 "] r[" 24 "]
end
6. Αγροτική Οικονομία (Πότισμα): Ένα σύστημα ποτίσματος καταναλώνει το νερό μιας δεξαμενής σε \(30\) ημέρες, αν λειτουργεί \(3\) ώρες την ημέρα. Αν λειτουργεί \(5\) ώρες την ημέρα, για πόσες ημέρες θα επαρκέσει το νερό;.
7. Ταχύτητα & Χρόνος: Ένα αυτοκίνητο διανύει μια απόσταση σε \(30\) λεπτά με ταχύτητα \(90\) km/h. Πόσο πρέπει να αυξήσει την ταχύτητά του για να καλύψει την ίδια απόσταση σε \(25\) λεπτά;
8. Συσκευασία Προϊόντων: Ένας μελισσοκόμος γεμίζει \(200\) βάζα των \(450\) g. Αν χρησιμοποιήσει βάζα των \(750\) g, πόσα βάζα θα χρειαστεί για την ίδια ποσότητα μελιού;
9. Θεωρία Υπερβολής: Για τη συνάρτηση \(y = \frac{3}{x}\), σε ποια τεταρτημόρια βρίσκονται οι κλάδοι της και ποιο είναι το κέντρο συμμετρίας της;
10. Πρόβλημα Τύπου: Αν τα ποσά \(x\) και \(y\) είναι αντιστρόφως ανάλογα και για \(x = 3\) είναι \(y = 4\), να βρείτε την τιμή του \(y\) όταν το \(x = 12\).
11. Έλεγχος Σχέσης: Ο Απόστολος παρατήρησε ότι τη Δευτέρα είδε τηλεόραση \(1,5\) ώρα και διάβασε \(1,5\) ώρα, ενώ την Τρίτη είδε \(2\) ώρες και διάβασε \(1\) ώρα. Είναι τα ποσά «χρόνος τηλεόρασης» και «χρόνος διαβάσματος» αντιστρόφως ανάλογα; Αιτιολογήστε με βάση το γινόμενό τους.
- Στο ίδιο σύστημα αξόνων να κάνετε τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων
- \(y=-\frac{4}{x}\)
- \(y=\frac{4}{x}\)
| x | \(y=-\frac{4}{x}\) | x | \(y=\frac{4}{x}\) | |
|---|---|---|---|---|
| -4 | -4 | |||
| -2 | -2 | |||
| -1 | –1 | |||
| 1 | 1 | |||
| 2 | 2 | |||
| 4 | 4 |
- Να εξετάσετε ποιοι από τους παρακάτω πίνακες είναι πίνακες αντιστρόφως ανάλογων ποσών
block-beta
block:group
columns 6
a[" x "] b["-4"] c["0,5"] d["3"] p["5"] e["8"]
k[" y "] l[" 3 "] m["-24 "] n[" -4 "] o[" -2,4 "] q[" -2,25 "]
end
block-beta
block:group
columns 6
a[" x "] b["-8"] c["-2"] d["2"] p["8"] e["10"]
k[" y "] l[" -2 "] m["-8 "] n["10 "] o["-2 "] q["5 "]
end
block-beta
block:group
columns 6
a[" x "] b["-6"] c["-4"] d["2"] p["3"] e["12"]
k[" y "] l[" -7 "] m["10,5 "] n["21 "] o[" 14 "] q[" 3,5 "]
end
- Συμπλήρωση πίνακα τιμών Δίνεται η συνάρτηση \(y=\dfrac{2}{x}\).
Να συμπληρώσεις τον πίνακα:
| x | -4 | -2 | -1 | 1 | 2 | 4 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| y |
Εύρεση του \(α\) από ένα ζευγάρι τιμών Για τη συνάρτηση \(y=\dfrac{a}{x}\) ισχύει ότι όταν \(x=5\), τότε \(y=4\).
Να βρεις το \(α\).Εύρεση του \(y\) για δοσμένο \(x\) Δίνεται \(y=\dfrac{a}{x}\) με \(α=30\).
Να βρεις το \(y\) όταν \(x=2\), \(x=3\), \(x=10\).Εύρεση του \(x\) για δοσμένο \(y\) Δίνεται η συνάρτηση \(y=\dfrac{20}{x}\).
Να βρεις το \(x\) όταν \(y=8\) και όταν \(y=4\).Έλεγχος αν ένα σημείο ανήκει στη γραφική παράσταση Δίνεται \(y=\dfrac{18}{x}\).
Να εξετάσεις αν τα σημεία \(A(3,6)\), \(B(2,8)\), \(Γ(9,2)\) ανήκουν στη γραφική παράσταση.Σύγκριση τιμών (αντιστροφή συμπεριφοράς) Δίνεται \(y=\dfrac{40}{x}\) με \(x>0\).
Να συγκρίνεις τα \(y_1\) και \(y_2\) όταν:
- \(x_1=4\) και \(x_2=8\)
- \(x_1=5\) και \(x_2=10\)
και να γράψεις συμπέρασμα για το πώς αλλάζει το \(y\) όταν διπλασιάζεται το \(x\).
Αντιστρόφως ανάλογα ποσά (εργάτες – χρόνος) Για να τελειώσει μια εργασία, ο αριθμός εργατών \(n\) και ο χρόνος \(t\) (σε ώρες) είναι αντιστρόφως ανάλογα.
Αν 6 εργάτες τελειώνουν σε 10 ώρες, σε πόσες ώρες θα τελειώσουν 15 εργάτες;Αντιστρόφως ανάλογα ποσά (ταχύτητα – χρόνος) Για μια διαδρομή σταθερού μήκους, η ταχύτητα \(υ\) και ο χρόνος \(t\) είναι αντιστρόφως ανάλογα.
Αν με ταχύτητα 60 km/h χρειάζεται 3 ώρες, πόσες ώρες θα χρειαστεί με 75 km/h;Εύρεση τύπου από αντιστρόφως ανάλογη σχέση Δύο ποσά \(x\) και \(y\) είναι αντιστρόφως ανάλογα και όταν \(x=8\) τότε \(y=15\).
Να βρεις:
- τον τύπο της συνάρτησης \(y=\dfrac{a}{x}\)
- την τιμή του \(y\) όταν \(x=20\)
- Πρόβλημα με “σταθερό γινόμενο” (κλασικό αντιστρόφως ανάλογο) Δύο ποσά είναι αντιστρόφως ανάλογα. Όταν το πρώτο είναι 12, το δεύτερο είναι 7.
Να βρεις το δεύτερο όταν το πρώτο γίνει 21.
Σημαντικό
ΚΑΛΗ ΜΕΛΕΤΗ !